Ein Kreissegment (Kreisabschnitt) entsteht, wenn eine gerade Linie – die Sehne – ein Stück vom Kreis abschneidet. Gegeben sind meist der Radius r und der Mittelpunktswinkel α, oder in der Praxis Sehne s und Höhe h.
Die Formeln
| Größe | Formel |
|---|---|
| Fläche | A = r²/2 · (α_rad − sin α) |
| Sehnenlänge | s = 2r · sin(α/2) |
| Höhe (Pfeilhöhe) | h = r · (1 − cos(α/2)) |
| Bogenlänge | b = 2πr · α/360° |
| Radius aus s und h | r = s²/(8h) + h/2 |
Wichtig bei der Fläche: α_rad ist der Winkel im Bogenmaß (α° · π/180), sin α wird dagegen ganz normal berechnet.
Beispiel 1: Radius und Winkel
r = 10 cm, α = 60° (α_rad = 1,0472, sin 60° = 0,8660):
- A = 100/2 · (1,0472 − 0,8660) = 9,06 cm²
- s = 2 · 10 · sin 30° = 10 cm
- h = 10 · (1 − cos 30°) = 1,34 cm
Beispiel 2: Sehne und Höhe gemessen
Ein Rundbogen ist unten 12 cm breit (s) und 2 cm hoch (h). Erst den Radius: r = 144/16 + 1 = 10 cm. Dann der Winkel α = 2 · arccos(1 − h/r) = 2 · arccos(0,8) = 73,74°, und die Fläche A = 50 · (1,2870 − 0,9600) = 16,35 cm².
Näherung für flache Segmente
Ist das Segment flach (h deutlich kleiner als s), gilt ungefähr A ≈ 2/3 · s · h. Im Beispiel 2: 2/3 · 12 · 2 = 16 cm² statt 16,35 cm² – für eine Schätzung reicht das.
Segment oder Sektor?
Der Sektor ist das Tortenstück bis zum Mittelpunkt, das Segment nur die Kappe zwischen Sehne und Bogen. Segment = Sektor − Dreieck. Ausführlich im Ratgeber Kreissegment vs. Kreissektor.
Rechnen Sie Ihre Werte im Kreisabschnitt-Rechner (aus Radius mit Winkel, Höhe oder Sehne) oder im Kreissehne-Rechner (auch aus Sehne und Pfeilhöhe).