Tangente am Kreis berechnen
Werte eingeben, das Ergebnis erscheint sofort.
Rechenweg
Formeln: t = √(d² − r²) · β = 2 · arcsin(r/d)
Beispielrechnung
Gegeben: Radius r = 10 cm und Abstand Punkt–Mittelpunkt d = 13 cm. So rechnen Sie Schritt für Schritt:
- t = √(d² − r²) = √(13² − 10²) = 8,31 cm
- β = 2 · arcsin(r/d) = 100,57°
| Größe | Ergebnis |
|---|---|
| Tangentenlänge (t) | 8,31 cm |
| Winkel zwischen den Tangenten (β) | 100,57° |
| Winkel am Mittelpunkt (γ) | 79,43° |
| Abstand Punkt–Kreis (d − r) | 3 cm |
Verwendete Formeln: t = √(d² − r²) · β = 2 · arcsin(r/d). Eigene Werte rechnen Sie oben im Rechner – dort auch mit anderen Angaben (Radius & Tangentenlänge).
Was ist eine Kreistangente?
Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis in genau einem Punkt berührt. An diesem Berührpunkt steht die Tangente senkrecht (90°) zum Radius.
Wichtige Formeln
- Tangentenlänge: t = √(d² - r²)
- Winkel: α = arcsin(r/d)
- Bedingung: d > r (Punkt muss außerhalb des Kreises liegen)
Praktische Anwendungen
- Maschinenbau: Riemen und Zahnradantriebe
- Optik: Linsenkonstruktion und Lichtstrahlen
- Robotik: Pfadplanung und Hindernisvermeidung
- Sport: Billard und Snooker Winkelberechnung
- Straßenbau: Kurvenübergänge
Gut zu wissen: Warum die Tangente rechtwinklig ist
Der Berührpunkt ist der Punkt des Kreises, der dem äußeren Punkt am nächsten liegt, wenn man entlang der Tangente schaut. Deshalb steht der Radius dort genau senkrecht auf der Tangente – und Radius, Tangente und Abstand d bilden ein rechtwinkliges Dreieck.
Von jedem Punkt außerhalb des Kreises gibt es genau zwei Tangenten, und beide sind gleich lang. Das nutzt man beim Riementrieb, bei der Sichtweite bis zum Horizont oder beim Konstruieren mit Zirkel und Lineal über den Thaleskreis.
Im Rechner geben Sie entweder den Abstand d vom Mittelpunkt oder die Tangentenlänge t an – das jeweils andere sowie die Winkel folgen aus dem rechtwinkligen Dreieck.
Typische Fehler
- Den Abstand d vom Kreisrand statt vom Mittelpunkt messen – dann fehlt genau r.
- Vergessen, dass die Tangente senkrecht auf dem Radius steht. Nur deshalb gilt Pythagoras: t² + r² = d².
- Für einen Punkt im Kreis (d < r) gibt es keine Tangente; der Rechner meldet das.
Übungsaufgaben mit Lösung
1. r = 5 cm, Punkt 13 cm vom Mittelpunkt. Tangentenlänge?
Lösung anzeigen
t = √(169 − 25) = √144 = 12 cm
2. r = 3 cm, d = 5 cm. Länge und Winkel zwischen den Tangenten?
Lösung anzeigen
t = 4 cm, β = 2 · arcsin(3/5) = 73,74°
3. Wie weit sieht man am Meer bei 2 m Augenhöhe? (Erdradius 6371 km)
Lösung anzeigen
t = √((6371,002)² − 6371²) ≈ √25,48 ≈ 5,05 km
Häufige Fragen
Was ist eine Tangente an einem Kreis?
Eine Tangente ist eine gerade Linie, die den Kreis in genau einem Punkt berührt, ohne ihn zu schneiden. Sie steht senkrecht auf dem Radius an diesem Berührpunkt.
Wie berechnet man die Tangentenlänge?
Die Tangentenlänge wird mit der Formel t = √(d² - r²) berechnet, wobei d der Abstand vom Punkt zum Zentrum und r der Radius ist.
Wann existiert eine Tangente?
Eine Tangente von einem äußeren Punkt existiert nur, wenn der Abstand d größer als der Radius r ist.