Kreisabschnitt (Kreissegment) berechnen
Werte eingeben, das Ergebnis erscheint sofort.
Rechenweg
Formeln: A = r²/2 · (α − sin α) · s = 2r · sin(α/2) · h = r · (1 − cos(α/2)) · b = 2πr · α/360°
Beispielrechnung
Gegeben: Radius r = 10 cm und Mittelpunktswinkel α = 60°. So rechnen Sie Schritt für Schritt:
- A = r²/2 · (α_rad − sin α) = 10²/2 · (1,05 − 0,87) = 9,06 cm²
- s = 2 · r · sin(α/2) = 10 cm
- h = r · (1 − cos(α/2)) = 1,34 cm
- b = 2 · π · r · α/360° = 10,47 cm
| Größe | Ergebnis |
|---|---|
| Segmentfläche (A) | 9,06 cm² |
| Sehnenlänge (s) | 10 cm |
| Segmenthöhe (h) | 1,34 cm |
| Bogenlänge (b) | 10,47 cm |
| Umfang des Segments (U) | 20,47 cm |
| Winkel (α) | 60° |
Verwendete Formeln: A = r²/2 · (α − sin α) · s = 2r · sin(α/2) · h = r · (1 − cos(α/2)) · b = 2πr · α/360°. Eigene Werte rechnen Sie oben im Rechner – dort auch mit anderen Angaben (Radius & Höhe, Radius & Sehne, Sehne & Höhe (ohne Winkel)).
Ein Kreissegment (oder Kreisabschnitt) ist die Fläche zwischen einer Sehne und dem zugehörigen Kreisbogen. Es wird durch einen Mittelpunktswinkel definiert und ist kleiner als ein Halbkreis, wenn der Winkel kleiner als 180° ist.
Das Segment wird durch mehrere Größen charakterisiert: den Radius, den Mittelpunktswinkel, die Höhe (Abstand von der Sehne zum Kreisbogen), die Sehnenlänge und die Bogenlänge.
- •Architektur: Berechnung von Bögen, Gewölben und runden Fenstern
- •Vermessungswesen: Flächenberechnung bei Grundstücksgrenzen
- •Wasserbau: Berechnung von Durchflussmengen in Rohren
- •Maschinenbau: Dimensionierung von Nocken und Getrieben
- •Astronomie: Berechnung von Mondphasen und Planetensicheln
Segmentfläche
A = (r² / 2) × (θ - sin(θ))
θ in Radiant, r ist der Radius
Bogenlänge
s = r × θ
Länge des Kreisbogens
Sehnenlänge
c = 2r × sin(θ / 2)
Länge der geraden Verbindung
Segmenthöhe
h = r × (1 - cos(θ / 2))
Abstand Sehne zum Bogen
Typische Fehler
- In A = r²/2 · (α − sin α) muss α im Bogenmaß stehen, sin α aber normal berechnet werden.
- Segment und Sektor verwechseln: Der Sektor reicht bis zum Mittelpunkt, das Segment nur bis zur Sehne.
- Bei Winkeln über 180° ist das Segment größer als der Halbkreis – die Formel gilt trotzdem, das Ergebnis wird nur größer.
Übungsaufgaben mit Lösung
1. r = 10 cm, α = 120°. Fläche, Sehne und Höhe?
Lösung anzeigen
A = 50 · (2,0944 − 0,8660) = 61,42 cm², s = 17,32 cm, h = 5 cm
2. r = 5 cm, Segmenthöhe h = 1 cm. Wie groß ist der Winkel?
Lösung anzeigen
α = 2 · arccos(1 − 1/5) = 2 · arccos(0,8) = 73,74°
3. Sehne 12 cm, Höhe 2 cm, Radius unbekannt. Fläche?
Lösung anzeigen
r = 144/16 + 1 = 10 cm, α = 73,74°, A = 16,35 cm²
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Kreissegment und Kreissektor?
Ein Kreissegment ist die Fläche zwischen einer Sehne und dem Kreisbogen, während ein Kreissektor (Kreisausschnitt) die Fläche zwischen zwei Radien und dem Kreisbogen ist. Der Sektor sieht aus wie ein Tortenstück, das Segment wie ein abgeschnittenes Stück.
Wie berechnet man die Fläche eines Kreissegments?
Die Formel lautet: A = (r² / 2) × (θ - sin(θ)), wobei θ der Mittelpunktswinkel in Radiant ist. Sie können auch die Sektorfläche berechnen und die Dreiecksfläche abziehen: A = (r²θ/2) - (r²sin(θ)/2).
Was ist die Segmenthöhe?
Die Segmenthöhe (h) ist der senkrechte Abstand von der Sehne zum höchsten Punkt des Kreisbogens. Sie wird mit der Formel h = r × (1 - cos(θ / 2)) berechnet, wobei θ der Mittelpunktswinkel ist.
Wie wandelt man Grad in Radiant um?
Um Grad in Radiant umzuwandeln, multiplizieren Sie mit π/180. Beispiel: 90° = 90 × (π/180) = π/2 ≈ 1,57 Radiant. Für die Umrechnung von Radiant in Grad multiplizieren Sie mit 180/π.
Was ist eine Sehne?
Eine Sehne ist eine gerade Linie, die zwei Punkte auf der Kreislinie verbindet. Im Kreissegment ist die Sehne die gerade Begrenzung des Segments. Der Durchmesser ist die längste mögliche Sehne eines Kreises.
Kann ein Segment größer als ein Halbkreis sein?
Ja, wenn der Mittelpunktswinkel größer als 180° ist, entsteht ein größeres Segment. Bei genau 180° ist das Segment ein Halbkreis. Oft wird zwischen "kleinem Segment" (Winkel {""} 180°) unterschieden.
Wie berechnet man den Winkel aus der Segmenthöhe?
Aus der Formel h = r(1 - cos(θ/2)) folgt: cos(θ/2) = 1 - h/r. Daraus ergibt sich θ = 2 × arccos(1 - h/r). Unser Rechner führt diese Berechnung automatisch durch, wenn Sie Radius und Höhe eingeben.