Kreissehne berechnen: Sehnenlänge & Pfeilhöhe
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Rechenweg
Formeln: s = 2r · sin(α/2) · h = r · (1 − cos(α/2)) · r = s²/(8h) + h/2
Beispielrechnung
Gegeben: Radius r = 10 cm und Mittelpunktswinkel α = 60°. So rechnen Sie Schritt für Schritt:
- s = 2 · r · sin(α/2) = 2 · 10 · sin(30°) = 10 cm
- h = r · (1 − cos(α/2)) = 1,34 cm
- b = 2 · π · r · α/360° = 10,47 cm
| Größe | Ergebnis |
|---|---|
| Sehnenlänge (s) | 10 cm |
| Pfeilhöhe (h) | 1,34 cm |
| Radius (r) | 10 cm |
| Bogenlänge (b) | 10,47 cm |
| Abstand Mittelpunkt–Sehne (m) | 8,66 cm |
| Winkel (α) | 60° |
Verwendete Formeln: s = 2r · sin(α/2) · h = r · (1 − cos(α/2)) · r = s²/(8h) + h/2. Eigene Werte rechnen Sie oben im Rechner – dort auch mit anderen Angaben (Radius & Pfeilhöhe, Sehne & Pfeilhöhe).
Was ist eine Kreissehne?
Eine Kreissehne ist eine gerade Verbindungslinie zwischen zwei beliebigen Punkten auf dem Kreisumfang. Der Durchmesser ist ein Spezialfall der Sehne, der durch den Mittelpunkt verläuft.
Wichtige Formeln
- Sehnenlänge: c = 2r × sin(θ/2)
- Pfeilhöhe (Sagitta): h = r - √(r² - (c/2)²)
- Bogenlänge: L = r × θ (θ in Radiant)
Anwendungen im Alltag
- Brückenbau: Berechnung von Bogenbrücken
- Architektur: Gewölbe und Kuppeln
- Holzbearbeitung: Kurven und Bögen schneiden
- Straßenbau: Kurvenkonstruktion
Gut zu wissen: Sehne, Pfeilhöhe und Mittelpunkt
Die Mittelsenkrechte jeder Sehne geht durch den Kreismittelpunkt. Mit zwei Sehnen lässt sich so der Mittelpunkt eines Kreises finden, von dem nur ein Stück vorhanden ist – etwa bei einer runden Tischplatte oder einem Bogen im Mauerwerk.
Die Formel r = s²/(8h) + h/2 ist im Handwerk besonders nützlich: Spannweite und Stich lassen sich direkt messen, der Radius folgt daraus. Je flacher der Bogen, desto größer der Radius und desto genauer muss die Pfeilhöhe gemessen werden.
Typische Fehler
- In s = 2r · sin(α/2) den halben Winkel vergessen – mit sin α kommt ein falscher Wert heraus.
- Pfeilhöhe h und Abstand Mittelpunkt–Sehne verwechseln: Beide zusammen ergeben den Radius.
- Eine Sehne kann nie länger als der Durchmesser sein. Ist s > 2r, stimmt eine Angabe nicht.
Übungsaufgaben mit Lösung
1. r = 10 cm, α = 90°. Sehnenlänge und Pfeilhöhe?
Lösung anzeigen
s = 20 · sin 45° = 14,14 cm, h = 10 · (1 − cos 45°) = 2,93 cm
2. Ein Bogen ist 80 cm breit und 10 cm hoch. Welcher Radius?
Lösung anzeigen
r = 80²/(8 · 10) + 10/2 = 80 + 5 = 85 cm
3. r = 5 cm, Sehne 8 cm. Wie hoch ist die Pfeilhöhe?
Lösung anzeigen
Abstand zur Mitte √(25 − 16) = 3 cm, also h = 5 − 3 = 2 cm
Häufige Fragen
Was ist eine Kreissehne?
Eine Kreissehne ist eine gerade Linie, die zwei Punkte auf dem Kreisumfang verbindet. Der Durchmesser ist die längste Sehne eines Kreises.
Wie berechnet man die Sehnenlänge?
Die Sehnenlänge wird mit der Formel c = 2r × sin(θ/2) berechnet, wobei r der Radius und θ der Zentriwinkel ist.
Was ist die Pfeilhöhe (Sagitta)?
Die Pfeilhöhe ist der senkrechte Abstand von der Mitte der Sehne zum Kreisbogen. Sie wird berechnet mit h = r - √(r² - (c/2)²).