Kegel berechnen: Volumen, Mantellinie & Oberfläche
Werte eingeben, das Ergebnis erscheint sofort.
Rechenweg
Formeln: V = 1/3 · πr²h · s = √(r² + h²) · M = πrs · O = πr(r + s)
Beispielrechnung
Gegeben: Radius r = 10 cm und Höhe h = 20 cm. So rechnen Sie Schritt für Schritt:
- V = 1/3 · π · r² · h = 2.094,4 cm³
- s = √(r² + h²) = √(10² + 20²) = 22,36 cm
- M = π · r · s = 702,48 cm², O = π · r · (r + s) = 1.016,64 cm²
| Größe | Ergebnis |
|---|---|
| Volumen (V) | 2.094,4 cm³ |
| Mantellinie (s) | 22,36 cm |
| Oberfläche (O) | 1.016,64 cm² |
| Mantelfläche (M) | 702,48 cm² |
| Grundfläche (G) | 314,16 cm² |
| Öffnungswinkel (φ) | 53,13° |
Verwendete Formeln: V = 1/3 · πr²h · s = √(r² + h²) · M = πrs · O = πr(r + s). Eigene Werte rechnen Sie oben im Rechner – dort auch mit anderen Angaben (Radius & Mantellinie).
Was ist ein Kegel?
Ein Kegel ist ein geometrischer Körper mit einer kreisförmigen Grundfläche und einem Punkt (der Spitze) darüber. Die Mantelfläche verbindet die Grundfläche gleichmäßig mit der Spitze und bildet eine konische Form.
Formeln für Kegel
- Volumen: V = (1/3)πr²h
- Mantellinie: s = √(r² + h²)
- Grundfläche: G = πr²
- Mantelfläche: M = πrs
- Gesamtoberfläche: O = πr(r + s) = G + M
Anwendungsbeispiele
Kegelformen sind überall zu finden:
- Eistüten und Waffeln
- Verkehrshütchen (Leitkegel)
- Partyhüte
- Trichter
- Vulkane
- Kirchturmspitzen
- Kiefernzapfen
Interessante Fakten
Das Volumen eines Kegels ist genau ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe. Das bedeutet: drei Kegel ergeben einen Zylinder!
Praktische Anwendung
Die Kegelformel wird in vielen Bereichen genutzt: beim Berechnen von Füllmengen in Trichtern, beim Design von Verpackungen, in der Architektur für Dächer und Türme, und in der Natur zur Beschreibung vulkanischer Formen.
Gut zu wissen: Kegel und Zylinder
Ein Kegel hat genau ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe. Drei volle Eistüten füllen also einen Becher gleicher Form und Größe.
Die abgewickelte Mantelfläche eines Kegels ist ein Kreissektor mit dem Radius s (Mantellinie). Sein Winkel ist 360° · r/s – so schneidet man Trichter, Lampenschirme oder Partyhüte aus einem flachen Material zu.
Typische Fehler
- Den Faktor 1/3 beim Volumen vergessen – das wäre ein Zylinder.
- Höhe h und Mantellinie s verwechseln: s ist die schräge Seite, h die senkrechte.
- Bei der Oberfläche die Grundfläche vergessen, wenn der Kegel unten geschlossen ist.
Übungsaufgaben mit Lösung
1. r = 3 cm, h = 4 cm. Mantellinie, Volumen, Oberfläche?
Lösung anzeigen
s = 5 cm, V = 37,70 cm³, O = π · 3 · 8 = 75,40 cm²
2. Eiswaffel: 5 cm Durchmesser, 12 cm hoch. Volumen?
Lösung anzeigen
V = π · 2,5² · 12 / 3 = 78,54 cm³
3. Sandhaufen: Radius 1,5 m, Höhe 1 m. Wie viel Sand?
Lösung anzeigen
V = π · 2,25 · 1 / 3 = 2,36 m³
Häufige Fragen
Was ist ein Kegel?
Ein Kegel ist ein dreidimensionaler Körper mit einer kreisförmigen Grundfläche und einer Spitze. Die Mantelfläche verjüngt sich gleichmäßig von der Basis zur Spitze.
Wie berechnet man das Kegelvolumen?
Das Kegelvolumen wird mit der Formel V = (1/3)πr²h berechnet, wobei r der Radius der Grundfläche und h die Höhe ist.
Was ist die Mantellinie eines Kegels?
Die Mantellinie (s) ist die Strecke von der Spitze zum Rand der Grundfläche entlang der Mantelfläche. Sie wird mit s = √(r² + h²) berechnet.
Wo findet man Kegel im Alltag?
Kegel finden Sie bei Eistüten, Verkehrshütchen, Partyhüten, Trichtern, Vulkanen und Kirchturmspitzen.