Sekante am Kreis berechnen
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Rechenweg
Formeln: c = 2r · sin(α/2) · e · (e + c) = t² · d = √(t² + r²)
Beispielrechnung
Gegeben: Radius r = 10 cm, Mittelpunktswinkel α = 60° und Äußeres Stück e = 5 cm. So rechnen Sie Schritt für Schritt:
- c = 2 · r · sin(α/2) = 10 cm
- Sekante = e + c = 5 + 10 = 15 cm
- Sekantensatz: e · (e + c) = t² = 75 cm² → t = 8,66 cm
| Größe | Ergebnis |
|---|---|
| Sekantenlänge (e + c) | 15 cm |
| Sehne im Kreis (c) | 10 cm |
| Potenz des Punktes (e · (e + c)) | 75 cm² |
| Tangentenlänge vom Punkt (t) | 8,66 cm |
| Abstand Punkt–Mittelpunkt (d) | 13,23 cm |
Verwendete Formeln: c = 2r · sin(α/2) · e · (e + c) = t² · d = √(t² + r²). Eigene Werte rechnen Sie oben im Rechner – dort auch mit anderen Einheiten.
Was ist eine Kreissekante?
Eine Sekante ist eine gerade Linie, die einen Kreis in zwei Punkten schneidet und sich über den Kreis hinaus erstreckt. Sie ist eine Erweiterung der Sehne.
Wichtige Formeln
- Sehnenlänge: c = 2r × sin(θ/2)
- Sekantenlänge: s = äußeres Segment + Sehnenlänge
- Potenzsatz: p = (äußeres Segment) × (Sekantenlänge)
Anwendungen
- Geometrie: Kreisprobleme und Beweise
- Computer Graphics: Linie-Kreis Intersection
- GPS-Technik: Triangulation
- Optik: Lichtbrechung durch Linsen
- Radar: Objektverfolgung
Gut zu wissen: Sekante, Sehne und Tangente
Eine Sekante schneidet den Kreis in zwei Punkten; das Stück zwischen den Schnittpunkten ist eine Sehne. Berührt die Gerade den Kreis nur in einem Punkt, wird sie zur Tangente, trifft sie ihn gar nicht, heißt sie Passante.
Der Sekantensatz sagt: Für alle Sekanten durch denselben äußeren Punkt ist das Produkt aus äußerem Stück und ganzer Sekante gleich – und gleich dem Quadrat der Tangentenlänge. Damit lassen sich fehlende Strecken ohne Winkel berechnen.
Typische Fehler
- Im Sekantensatz e · c statt e · (e + c) rechnen: Es zählt die ganze Sekante bis zum zweiten Schnittpunkt.
- Den Winkel am äußeren Punkt mit dem Mittelpunktswinkel über der Sehne verwechseln.
- Die Potenz des Punktes ist eine Fläche (cm²); die Tangentenlänge ist ihre Wurzel.
Übungsaufgaben mit Lösung
1. r = 10 cm, α = 60°, äußeres Stück 5 cm. Sekantenlänge?
Lösung anzeigen
c = 20 · sin 30° = 10 cm, Sekante = 5 + 10 = 15 cm
2. e = 4 cm, Sehne c = 5 cm. Wie lang ist die Tangente vom selben Punkt?
Lösung anzeigen
t² = 4 · 9 = 36, t = 6 cm
3. Zwei Sekanten vom selben Punkt: e₁ = 3, ganze Länge 12. Zweite mit e₂ = 4 – wie lang ist ihre Sehne?
Lösung anzeigen
3 · 12 = 36 = 4 · 9, also ganze Länge 9 und Sehne 5
Häufige Fragen
Was ist eine Sekante?
Eine Sekante ist eine gerade Linie, die einen Kreis in zwei Punkten schneidet. Im Gegensatz zur Sehne erstreckt sich die Sekante über den Kreis hinaus.
Was ist der Unterschied zwischen Sekante und Sehne?
Eine Sehne verbindet nur zwei Punkte auf dem Kreis. Eine Sekante ist eine verlängerte Linie, die durch diese Punkte geht und sich außerhalb des Kreises fortsetzt.
Was ist der Potenzsatz?
Der Potenzsatz besagt: Wenn eine Sekante einen Kreis schneidet, ist das Produkt aus äußerem Segment und gesamter Sekante konstant.