Die Bogenlänge b ist die Länge eines Stücks der Kreislinie zwischen zwei Punkten. Sie hängt vom Radius r und vom Mittelpunktswinkel α ab:
b = 2 · π · r · α / 360°
Warum diese Formel?
Der ganze Kreis hat den Umfang 2πr und den Winkel 360°. Ein Bogen mit dem Winkel α ist genau der Anteil α/360° davon. Ein Viertelkreis (90°) ist also ein Viertel des Umfangs, ein Halbkreis (180°) die Hälfte.
Formel im Bogenmaß
Ist der Winkel im Bogenmaß (rad) gegeben, wird es noch einfacher: b = r · α. Grund: 360° entsprechen 2π rad, die Umrechnung steckt schon im Bogenmaß. Umrechnen von Grad in rad: α_rad = α° · π/180.
Formel umstellen
- Radius gesucht: r = b · 360° / (2π · α)
- Winkel gesucht: α = b · 360° / (2π · r)
Tabelle: Bogenlänge bei r = 10 cm
| Winkel α | Bogenlänge b |
|---|---|
| 30° | 5,24 cm |
| 45° | 7,85 cm |
| 60° | 10,47 cm |
| 90° | 15,71 cm |
| 120° | 20,94 cm |
| 180° | 31,42 cm |
Häufige Fehler
- Durchmesser statt Radius eingesetzt – dann ist das Ergebnis doppelt so groß.
- Grad und Bogenmaß gemischt: b = r · α gilt nur mit α in rad. Mit 60 statt 1,047 kommt Unsinn heraus.
- Bogen mit Sehne verwechselt: Die Sehne ist die gerade Strecke zwischen den Endpunkten und immer kürzer: s = 2r · sin(α/2).
Eigene Werte rechnen Sie im Bogenlängenrechner – auch rückwärts aus der Bogenlänge. Für die Fläche des Tortenstücks gibt es den Kreissektor-Rechner.