Umkreis berechnen
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Rechenweg
Formeln: Quadrat: R = a/√2 · Rechteck: R = √(a² + b²)/2 · Dreieck: R = abc/(4A) · n-Eck: R = a/(2 · sin(180°/n))
Beispielrechnung
Gegeben: Seitenlänge a = 10 cm. So rechnen Sie Schritt für Schritt:
- R = a ÷ √2 = 10 ÷ 1,4142 = 7,07 cm
- D = 2 · R = 14,14 cm, U = 2 · π · R = 44,43 cm
| Größe | Ergebnis |
|---|---|
| Umkreisradius (R) | 7,07 cm |
| Umkreis-Durchmesser (D) | 14,14 cm |
| Umfang des Umkreises (U) | 44,43 cm |
| Fläche des Umkreises (A) | 157,08 cm² |
Verwendete Formeln: Quadrat: R = a/√2 · Rechteck: R = √(a² + b²)/2 · Dreieck: R = abc/(4A) · n-Eck: R = a/(2 · sin(180°/n)). Eigene Werte rechnen Sie oben im Rechner – dort auch mit anderen Angaben (Rechteck, Dreieck (3 Seiten), Regelmäßiges n-Eck).
Formeln für den Umkreisradius
| Figur | Umkreisradius R | Beispiel |
|---|---|---|
| Quadrat (Seite a) | R = a ÷ √2 | a = 10 → R = 7,07 |
| Rechteck (a, b) | R = √(a² + b²) ÷ 2 | 12 × 5 → R = 6,5 |
| Dreieck (a, b, c) | R = abc ÷ (4A) | 3, 4, 5 → R = 2,5 |
| Gleichseitiges Dreieck | R = a ÷ √3 | a = 6 → R = 3,46 |
| Regelmäßiges Sechseck | R = a | a = 5 → R = 5 |
| Regelmäßiges n-Eck | R = a ÷ (2 · sin(180°/n)) | Achteck, a = 4 → R = 5,23 |
Umkreis und Inkreis
Der Umkreis geht durch die Ecken, der Inkreis berührt die Seiten von innen. Beim Quadrat ist der Inkreisradius a/2, der Umkreisradius a/√2 – der Umkreis ist also etwa 1,41-mal so groß.
Wozu braucht man den Umkreis?
- Ob ein eckiges Teil durch eine runde Öffnung passt (Rohr, Bohrung, Fass).
- Wie groß ein Rundholz sein muss, um daraus einen quadratischen Balken zu sägen.
- Schlüsselweite bei Sechskant-Schrauben: Eckenmaß = 2R.
Die Fläche des Umkreises rechnet der Rechner gleich mit; für andere Kreisgrößen siehe den Kreisumfang-Rechner.
Gut zu wissen: Der Umkreismittelpunkt
Beim Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt dort, wo sich die drei Mittelsenkrechten der Seiten schneiden. Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt er innen, bei einem rechtwinkligen genau in der Mitte der Hypotenuse, bei einem stumpfwinkligen außerhalb.
Jedes Rechteck und jedes regelmäßige Vieleck hat einen Umkreis, beliebige Vierecke aber nicht. Ein Viereck hat genau dann einen Umkreis, wenn gegenüberliegende Winkel zusammen 180° ergeben (Sehnenviereck).
Typische Fehler
- Umkreis und Inkreis verwechseln: Der Umkreis geht durch die Ecken, der Inkreis berührt die Seiten.
- Beim Rechteck die Diagonale als Radius nehmen – sie ist der Durchmesser.
- Beim stumpfwinkligen Dreieck liegt der Mittelpunkt außerhalb; das ist richtig, kein Rechenfehler.
Übungsaufgaben mit Lösung
1. Quadrat mit 10 cm Seite. Umkreisradius?
Lösung anzeigen
R = 10 ÷ √2 = 7,07 cm
2. Rechteck 16 × 12 cm. Umkreisradius?
Lösung anzeigen
Diagonale √(256 + 144) = 20 cm, R = 10 cm
3. Gleichseitiges Dreieck mit 6 cm Seite. Umkreisradius?
Lösung anzeigen
R = 6 ÷ √3 = 3,46 cm
Häufige Fragen
Was ist der Umkreis?
Der Umkreis ist der Kreis, der durch alle Ecken einer Figur geht. Sein Mittelpunkt hat zu jeder Ecke den gleichen Abstand, den Umkreisradius R.
Wie berechne ich den Umkreis eines Rechtecks?
Der Durchmesser des Umkreises ist die Diagonale: D = √(a² + b²), also R = √(a² + b²) ÷ 2. Bei 12 × 5 cm ist die Diagonale 13 cm, der Umkreisradius 6,5 cm.
Wie berechne ich den Umkreis eines Dreiecks?
Mit R = a · b · c ÷ (4 · A), wobei A die Dreiecksfläche ist (z. B. mit der Heron-Formel aus den drei Seiten). Beim rechtwinkligen Dreieck ist R einfach die halbe Hypotenuse: 3-4-5 ergibt R = 2,5.
Hat jedes Viereck einen Umkreis?
Nein. Quadrat, Rechteck und gleichschenkliges Trapez haben einen, ein schiefes Parallelogramm nicht. Jedes Dreieck und jedes regelmäßige Vieleck hat dagegen immer einen Umkreis.
Wie groß muss ein runder Tisch für eine quadratische Platte sein?
So groß wie der Umkreis: Eine 80 × 80 cm Platte passt in einen Kreis mit 80 ÷ √2 ≈ 56,6 cm Radius, also 113,1 cm Durchmesser.