Ellipse berechnen: Fläche, Umfang & Exzentrizität
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Rechenweg
Formeln: A = πab · U ≈ Ramanujan-Näherung · e = √(a² − b²) · ε = e/a
Beispielrechnung
Gegeben: Große Halbachse a = 5 cm und Kleine Halbachse b = 3 cm. So rechnen Sie Schritt für Schritt:
- A = π · a · b = 3,1416 · 5 · 3 = 47,12 cm²
- U ≈ π(a + b)(1 + 3λ²/(10 + √(4 − 3λ²))), λ = (a − b)/(a + b) → U ≈ 25,53 cm
- e = √(a² − b²) = 4 cm
| Größe | Ergebnis |
|---|---|
| Fläche (A) | 47,12 cm² |
| Umfang (Näherung) (U) | 25,53 cm |
| Lineare Exzentrizität (e) | 4 cm |
| Numerische Exzentrizität (ε) | 0,8 |
Verwendete Formeln: A = πab · U ≈ Ramanujan-Näherung · e = √(a² − b²) · ε = e/a. Eigene Werte rechnen Sie oben im Rechner – dort auch mit anderen Angaben (Achsen 2a & 2b).
Was ist eine Ellipse?
Eine Ellipse ist eine geschlossene Kurve, die wie ein gestreckter oder gestauchter Kreis aussieht. Sie hat zwei Achsen: die große Achse (längste Durchmesser) und die kleine Achse (kürzeste Durchmesser).
Formeln für Ellipse
- Fläche: A = πab (a = große Halbachse, b = kleine Halbachse)
- Umfang (Näherung): U ≈ π(a + b)(1 + 3h/(10 + √(4 - 3h))) mit h = (a-b)²/(a+b)²
- Exzentrizität: e = √(1 - b²/a²)
- Lineare Exzentrizität: c = √(a² - b²)
Anwendungsbeispiele
Ellipsen finden Sie überall:
- Planetenbahnen (Kepler-Gesetze)
- Stadien und Sportplätze
- Eier und ovale Formen
- Elliptische Tische und Spiegel
- Architektur (Kuppeln, Bögen)
- Satellitenbahnen
Der Unterschied zum Kreis
Ein Kreis ist ein Spezialfall einer Ellipse, bei dem beide Halbachsen gleich lang sind (a = b). Je weiter a und b auseinanderliegen, desto langgestreckter wird die Ellipse.
Gut zu wissen: Warum es keine einfache Umfangsformel gibt
Für die Fläche einer Ellipse gibt es die einfache Formel π · a · b, für den Umfang aber nicht: Er führt auf ein sogenanntes elliptisches Integral. Die Näherung von Ramanujan, die der Rechner verwendet, ist für alle üblichen Ellipsen auf weit unter 0,01 % genau.
Ellipsen begegnen uns bei Planetenbahnen, schräg angeschnittenen Rohren und ovalen Tischen. Die zwei Brennpunkte liegen im Abstand e = √(a² − b²) vom Mittelpunkt; je näher e an a, desto flacher die Ellipse.
Typische Fehler
- Ganze Achsen statt Halbachsen in A = π · a · b einsetzen – viermal zu groß.
- Den Umfang grob mit π · (a + b) schätzen: Das ist zu klein, je flacher die Ellipse, desto mehr.
- a und b vertauschen ist harmlos für die Fläche, aber die Exzentrizität braucht a als größere Halbachse.
Übungsaufgaben mit Lösung
1. a = 5 cm, b = 3 cm. Fläche und Umfang?
Lösung anzeigen
A = π · 15 = 47,12 cm², U ≈ 25,53 cm
2. Ovaler Tisch 180 × 100 cm. Tischfläche?
Lösung anzeigen
a = 90, b = 50: A = π · 4500 = 14.137 cm² ≈ 1,41 m²
3. a = b = 4 cm. Was für eine Figur ist das?
Lösung anzeigen
Ein Kreis: A = π · 16 = 50,27 cm², Exzentrizität 0
Häufige Fragen
Was ist eine Ellipse?
Eine Ellipse ist eine ovale Form, die entsteht, wenn man einen Kreis in eine Richtung streckt. Sie hat zwei Achsen: die große (längere) und die kleine (kürzere) Achse.
Wie berechnet man die Ellipsenfläche?
Die Ellipsenfläche wird mit der Formel A = πab berechnet, wobei a die große Halbachse und b die kleine Halbachse ist.
Was ist die Exzentrizität einer Ellipse?
Die Exzentrizität (e) beschreibt, wie stark eine Ellipse von der Kreisform abweicht. Bei e = 0 ist es ein Kreis, bei e nahe 1 ist die Ellipse sehr langgestreckt.
Wo findet man Ellipsen in der Natur?
Ellipsen finden Sie bei Planetenbahnen, Eiern, Stadien, ovalen Tischen, Gesichtsformen und vielen architektonischen Elementen.